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人教版數(shù)學(xué)正弦定理優(yōu)秀教案及教學(xué)設(shè)計(jì)
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人教版數(shù)學(xué)正弦定理優(yōu)秀教案及教學(xué)設(shè)計(jì)
【教學(xué)目的】
1理解并掌握正弦定理，能運(yùn)用正弦定理解斜三角形，解決實(shí)際問題，正弦定理在高考中的應(yīng)用，熟悉高考題型。
2. 引導(dǎo)學(xué)習(xí)探索知識(shí)，學(xué)以致用，培養(yǎng)觀察、歸納、猜想、探究的思維方法與能力。通過對(duì)實(shí)際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和數(shù)學(xué)交流能力，提升數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想。
【教學(xué)重點(diǎn)】
理解掌握正弦定理，運(yùn)用正弦定理解三角形，解決實(shí)際應(yīng)用問題
【教學(xué)難點(diǎn)】
正弦定理的熟練運(yùn)用，提升正弦定理的綜合運(yùn)用能力，解決實(shí)際生活中的有關(guān)問題。
【教學(xué)方法】
啟發(fā)引導(dǎo)、觀察發(fā)現(xiàn)、精講多練，雙主體互動(dòng)，多媒體輔助教學(xué)
【教學(xué)過程】
一. 引入：
1.三角形中有幾個(gè)要素?
2.三角形可分為直角三角形和斜三角形;
3.三角形中的邊角關(guān)系：A+B+C=π; A>B則a>b; a+b>c;
4.直角三角形中A+B=90°;勾股定理 ;
5.斜三角形ABC中的邊角關(guān)系如何表示? 三角形中的大邊對(duì)大角，正弦定理
表示了邊角關(guān)系的準(zhǔn)確量化
提問:正弦定理的內(nèi)容?公式默寫。
二.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即
[理解定理]
(1)正弦定理適合于任何三角形;
(2)正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦比值相等;即邊與其對(duì)角的正弦成正比;
(3) 等價(jià)于 ， ，
每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一
正弦定理的基本作用為：正弦定理可以解決三角形中兩類問題：
①已知三角形的兩角和任意一邊，求另一角和其他邊;，如 ;
②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其他的邊和角，如
一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的'邊和角的過程叫作解三角形。
三.正弦定理的應(yīng)用：
題型一 正弦定理的基礎(chǔ)應(yīng)用：解三角形
例1 在△ABC中，(1)已知
(2)已知
評(píng)述：本題考查正弦定理解三角形中的兩類問題
練習(xí)一.(同桌同協(xié)力)競賽題(9分鐘)
1. 在△ABC中，已知B= ，C= ，c= ，求b;
2. 在△ABC中，已知 c=1 ,求 ;
3. 在△ABC中，已知c= ，A= ，C= ，解此三角形
練習(xí)二.(能力提升--進(jìn)一步應(yīng)用)
(2007年高考題)
題型二 正弦定理的綜合運(yùn)用(能力提升)：運(yùn)用正弦定理解決實(shí)際生活中的問題，利用正弦定理求解三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用題，一般步驟: 分析，圖解，求解，檢驗(yàn)(高考題型)
例3：大家一起來計(jì)算高贊大橋有多長?
如圖。如何測(cè)得高贊大橋的長度，學(xué)生會(huì)很自然地構(gòu)造
三角形來解決。通過身邊實(shí)際問題引入新課，能激發(fā)
學(xué)生的求知欲，并能感受到數(shù)學(xué)問題來源于現(xiàn)實(shí)際生活。
思考題：
例4(2004年高考題)在一條由西向東流的大河北岸，有建筑物A和B，其距離無法直接測(cè)量，于是間接測(cè)量如下：首先，在南岸C點(diǎn)處，測(cè)得A位于正北向，B位于北偏西 的方向上;然后，沿河岸向正西方向移動(dòng)100m，到了點(diǎn)D，觀察到A位于北偏東 的方向上，B位于北偏西 的方向上，試求建筑物A和B的距離(參考數(shù)據(jù) )
五.[課堂小結(jié)](由學(xué)生歸納總結(jié))
(1)定理的表示形式： ;
(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：
①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角;
②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。
(3)運(yùn)用正弦定理解題
六.作業(yè)布置和課后反思
隨堂練習(xí)： B
1.三角形中的邊角關(guān)系：
1)三角形中有 個(gè)要素，即 個(gè)角和 條邊; c a
2)三角形可分為 三角形和 三角形(按邊角關(guān)系分類)
3)邊的關(guān)系： A b C
兩邊之和 第三邊;兩邊之差 第三邊; B
在直角三角形中： (勾股定理);
4)角的關(guān)系：A+B+C= ; A C
5)邊角關(guān)系：大邊對(duì) 角，大角對(duì) 邊，等邊對(duì) 角;
在直角三角形ABC中,C=90°,則 ， ，
6)如何解決斜三角形邊角關(guān)系的問題?
7)正弦定理表示了三角形邊角關(guān)系的準(zhǔn)確量化。
正弦定理的內(nèi)容：
公式為：
正弦定理可以解決三角形中兩類問題：
①已知三角形的 ，求另一角和其他邊;
②已知三角形的 ，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其他的邊和角。
8) 一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作 。
2. 練習(xí)一.(同桌協(xié)力)競賽題
1. 在△ABC中，已知B= ，C= ，c= ，求b;
2. 在△ABC中，已知 c=1 ,求 ;
3. 在△ABC中，已知b= ，A= ，B= ，解此三角形.
4. 練習(xí)二.(能力提升--進(jìn)一步應(yīng)用)
(2007年高考題)
5. 大家一起來計(jì)算高贊大橋建有多長?(精確到整數(shù)位)
在容桂A處正東方向1412米處取點(diǎn)C，
則高贊大橋AB長度為多少米?
人教版數(shù)學(xué)正弦定理優(yōu)秀教案及教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教學(xué)目標(biāo)：
1.知識(shí)與技能：通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理，并推證正弦定理。會(huì)初步運(yùn)用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類問題。
2.過程與方法：引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角正弦的比值之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生通過觀察，猜想，由特殊到一般歸納得出結(jié)論的能力和化未知為已知的解決問題的能力。
3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍，通過學(xué)生
之間、師生之間的交流、合作和評(píng)價(jià)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，給學(xué)生成功的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。
二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：
1.重點(diǎn)：正弦定理的探索發(fā)現(xiàn)及其初步應(yīng)用。
2.難點(diǎn)：
①正弦定理的證明;
②了解已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，解的情況不唯一。
三、教學(xué)過程：
㈠ 創(chuàng)設(shè)情境：
寧靜的夜晚，明月高懸，當(dāng)你仰望夜空，欣賞這美好夜色的時(shí)候，會(huì)不會(huì)想要知道：那遙不可及的月亮離我們究竟有多遠(yuǎn)呢?1671年兩個(gè)法國天文學(xué)家首次測(cè)出了地月之間的距離大約為385400km，你們想知道他們當(dāng)時(shí)是怎樣測(cè)出這個(gè)距離的嗎?
學(xué)習(xí)了本章《解三角形》的內(nèi)容之后，這個(gè)問題就會(huì)迎刃而解。
㈡ 新課學(xué)習(xí)：
⒈提出問題：我們知道，在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個(gè)邊、角關(guān)系的準(zhǔn)確量化的表示呢?
⒉解決問題：
回憶直角三角形中的邊角關(guān)系：
根據(jù)正弦函數(shù)的定義有：
，sinC=1。
經(jīng)過學(xué)生思考、交流、討論得出：
，
問題1：這個(gè)結(jié)論在任意三角形中還成立嗎?
(引導(dǎo)學(xué)生首先分為兩種情況，銳角三角形和鈍角三角形，然后按照化未知為已知的思路，構(gòu)造直角三角形完成證明。)
①當(dāng)
ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有
,
。由此，得
，同理可得
，故有
.
從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立.
②當(dāng)
ABC是鈍角三角形時(shí)，過點(diǎn)C作AB邊上的高，交AB的延長線于點(diǎn)D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的'定義，有
，
。由此，得
，同理可得
故有
. 由①②可知，在
ABC中，
成立. 從而得到：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等，即
.
這就是我們今天要研究的——
1.1.1 正弦定理
思考：你還有其它方法證明正弦定理嗎?
接著給出解三角形的概念：一般地，把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對(duì)邊a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個(gè)元素求其它元素的過程叫做解三角形.
問題2：你能否從方程的角度分析一下，解三角形需要已知三角形中的幾個(gè)元素?
問題 3：我們利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題呢?
(1)已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求其他兩邊和另一角。
(2)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，計(jì)算另一邊的對(duì)角，進(jìn)而計(jì)算出其他的邊和角。
3. 應(yīng)用定理：
例1.
例2.
問題4：你發(fā)現(xiàn)運(yùn)用正弦定理解決的這兩類問題的解的情況有什么不同嗎?
㈢ 課堂小結(jié)：學(xué)生發(fā)言，互相補(bǔ)充，老師評(píng)價(jià).
㈣ 布置作業(yè)：
1.思考：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,解三角形時(shí),解的情況可能有幾種?試
從理論上說明.
2.P10.習(xí)題1.1.A組：1.2.
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