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《函數(shù)性質(zhì)的運用》數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析
一、相關(guān)背景介紹
建構(gòu)主義理論告訴我們，學(xué)習(xí)是學(xué)生在原有認(rèn)知經(jīng)驗基礎(chǔ)上主動建構(gòu)新知識的過程。這一建構(gòu)過程實際上需要學(xué)生將原有知識與新知識（包括思想、觀點、方法）進(jìn)行有效組合與溝通。而學(xué)生知識、方法的遷移，水平、能力的提高均依賴于這個過程。從這個意義上說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實際上是指學(xué)生對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的領(lǐng)悟和實質(zhì)理解。抽象函數(shù)這部分內(nèi)容，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度抽象性和簡潔性，近幾年高考幾乎每年都有類似的題目。由于它的提干都是由抽象的數(shù)學(xué)符號給出，因此它對學(xué)生閱讀理解數(shù)學(xué)語言和符號的能力要求很高。對學(xué)生的思維能力是一個大的挑戰(zhàn)。
二、本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)
1 、知識與技能
�、� 使學(xué)生深刻理解函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì)。掌握代數(shù)變換的方法。
�、� 學(xué)會閱讀理解數(shù)學(xué)語言和符號，會綜合運用函數(shù)性質(zhì)解題。
2 、過程與方法 通過讓學(xué)生經(jīng)歷閱讀、理解、探索求解的過程，滲透化歸轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想。尋求合理、有效的途徑，解決數(shù)學(xué)問題。
3 、情感、態(tài)度、價值觀 使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)他們實事求是的科學(xué)態(tài)度，積極參與和勇于探索的精神。
4 、重點：綜合運用函數(shù)性質(zhì)解題 難點：對文字語言、符號語言、圖形語言三種語言的理解和相互轉(zhuǎn)換。
三、設(shè)計理念
1 、首先通過復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)入，訓(xùn)練學(xué)生對數(shù)學(xué)的文字語言、符號語言和圖形語言這三種語言的相互轉(zhuǎn)換
2 、例 1 的設(shè)計的意圖是： 加深學(xué)生對函數(shù)概念、性質(zhì)的理解。教學(xué)生學(xué)會閱讀、理解數(shù)學(xué)語言、符號；學(xué)會文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化。通過一題多解、一題多思，滲透化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，以及代數(shù)變換的方法，培養(yǎng)他們的思維能力。課堂形式是：分組討論。
3 、例 2 的設(shè)計主要讓學(xué)生獨立思考解答 探求多種解法，思考、交流、表達(dá)，體現(xiàn)學(xué)生主體參與合作學(xué)習(xí)。 要求學(xué)生綜合運用函數(shù)性質(zhì)解題，提高他們抽象思維能力，問題延伸思考，主要針對較好學(xué)生，讓他們課后繼續(xù)鉆研，提高分析問題、解決問題能力，也體現(xiàn)了分層教學(xué)的思想。
四、下面是課堂實錄《函數(shù)性質(zhì)的運用》
師：前面我們已經(jīng)分別復(fù)習(xí)了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性及周期性等。今天我們學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)的綜合運用。請先思考回答以下問題：
�、� 若函數(shù) f （ x ）是奇函數(shù)，如何用符號表示？用圖形表示？
�、� 若給出圖形 請用文字語言敘述它的對稱性，用符號如何表示？
�、� 若 f （ x+2 ） =f （ x ），你能有何結(jié)論？如何用文字語言敘述，用符號表示？
生 1 ： ① f （ -x ） =-f （ x ）
生 2 ： ② 函數(shù) f （ x ）關(guān)于 x=1 對稱，即 f （ 1+x ） =f （ 1-x ）
生 3 ： ③ f （ x ）是周期函數(shù)，周期為 T=2 ，示意圖：
師：由 f （ x+2 ） =-f （ x ）你能說出什么信息？
生： f （ x ）的周期是 T=4
師：為什么？能否用圖象解釋？
生：將式中的 x 用 x+2 來替代，得到： f （ x+4 ） =-f （ x+2 ） 又因為 -f （ x+2 ） =f （ x ），所以 f （ x+4 ） =f （ x ）即： T=4 但是不太用圖像來解釋
師：提示： 從圖示看出 f （ x+4 ） =f （ x ）的周期為 4 。
總結(jié)：通過對函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性等性質(zhì)的復(fù)習(xí)，我們要熟悉數(shù)學(xué)的文字語言，符號語言，圖形語言三種語言的轉(zhuǎn)換。 好，下面我們來看例 1
例 1 ：設(shè) f （ x ）是（ -∞ ， +∞ ）上的奇函數(shù)， f （ x+2 ） =-f （ x ），當(dāng) 0≤x≤1 時， f （ x ） =x ，則 f （ 7.5 ） =?
生 1 ：利用周期性 由 f （ x+2 ） =-f （ x ）可得到 f （ x+4 ） =f （ x ） 所以 f （ 7.5 ） =f(8-0.5)=f(-0.5)=-0.5
生 2 ：直接利用 f （ x+2 ） =-f （ x ） f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-0.5
師：還有其他方法嗎？ f （ x ）是奇函數(shù)且 f （ x+2 ） =-f （ x ），除了能說出周期 T=4 外，還能說出哪些信息？（師提示）
生： f （ x+2 ） =-f （ x ） =f （ -x ） 而 f （ x+2 ） =f （ -x ）得到 f （ x ）關(guān)于直線 x=1 對稱
師：很好，你能否根據(jù)函數(shù)的對稱性、周期性及奇偶性，畫出它的圖象？從而利用圖象來解題呢？
生： 從圖中可以看出 f （ 7.5 ） =f(-0.5)=-0.5 師：我們在解題的過程中，應(yīng)善于利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，有時能收到意想不到的效果的。
師總結(jié)：
方法一：主要要求對符號的深刻理解及獲取信息
方法二：利用 f （ x+2 ） =-f （ x ），通過轉(zhuǎn)化達(dá)到解題的目的，滲透了轉(zhuǎn)化的思想
方法三：利用函數(shù)的幾何性質(zhì)，通過作圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解題。
下面我們來將這道題目進(jìn)行變化：
變化 1 ：已知條件不變，問題變?yōu)楫?dāng) x ∈ 時，求 f （ x ）的解析式
生 1 ：設(shè) x ∈ 則 -x ∈ ∴ f （ -x ） =-x ，又 ∵ f （ -x ） =-f （ x ） ∴ f （ x ） =x ∴ 當(dāng) x ∈ 時， f （ x ） =x 師：能否總結(jié)一下解題步驟？
生 2 ：小結(jié)：首先要 “ 問啥設(shè)啥 ” ，不要把變量設(shè)錯了區(qū)間； 第二，把變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上去 最后，再利用函數(shù)的奇偶性、周期性求出 f （ x ）的解析式。
變化 2 ：當(dāng) -1≤x≤1 時， f （ x ）的解析式
生：由已知和變化 1 可知當(dāng) -1≤x≤1 時， f （ x ） =x 變化 3 ：當(dāng) x ∈ 時，求 f （ x ）的解析式
生：設(shè) x ∈ ，則 x-4 ∈ ∴ f （ x-4 ） =x-4 ∵ T=4 ∴ f （ x ） =x-4 變化 4 ：當(dāng) x ∈ 時，求 f （ x ）的解析式
生：設(shè) x ∈ ，則 x-2 ∈ ∴ f （ x-2 ） =x-2 ∵ T=4 ∴ f （ x-2 ） =f （ x+4-2 ） =f （ x+2 ） =-f （ x ） ∴ -f （ x ） =x-2 ∴ f （ x ） =2-x
師：小結(jié)：上面這四個變化訓(xùn)練要求我們要掌握代數(shù)變換這種數(shù)學(xué)方法，體會化歸轉(zhuǎn)化的思想在解題過程中的運用。
例 2 ：定義在（ -∞ ， +∞ ）上的偶函數(shù) y=f （ x ）滿足關(guān)系 f （ x+2 ） =-f （ x ）且 f （ x ）在區(qū)間 上是增函數(shù)，那么以下結(jié)論正確的有 ① y=f （ x ）是周期函數(shù) ② y=f （ x ）的圖象關(guān)于直線 x=2 對稱 ③ y=f （ x ）在區(qū)間 上是減函數(shù) ④ f （ ） =f （ ）
生 1 ： ① f （ x ）是周期函數(shù)， T=4
師： ② 分析：要證明直線 x=2 是 y=f （ x ）圖象的對稱軸，只需要證明什么關(guān)系式成立？
生：只需證 f （ 2-x ） =f （ 2+x ） 或證 f （ -x ） =f （ 4+x ） 或證 f （ x ） =f （ 4-x ）
師：那我們選擇證第三個等式 f （ x ） =f （ 4-x ）成立 生： ∵ f （ x ）的周期 T=4 ，且 f （ x ）是偶函數(shù) ∴ f （ 4-x ） =f （ -x ） =f （ x ）即 f （ x ） =f （ 4-x ） ∴ y=f （ x ）圖象的對稱軸 x=2 ③ ：
生 1 ：有已知在區(qū)間 上， y=f （ x ）是增函數(shù)，由于 y=f （ x ）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于 y 軸對稱，那么在 上 y=f （ x ）是減函數(shù)，又由于 y=f （ x ）圖象關(guān)于直線 x=2 對稱，所以 y=f （ x ）在區(qū)間 上是增函數(shù) 所以結(jié)論錯誤
生 2 ：也可以借助于圖象（示意圖）證明 ③ 是錯誤的 ④ ：
生 3 ：由于 f （ x ）在區(qū)間 上是遞減的 ∴ f （ ） >f （ ） ∴ 結(jié)論錯誤
師：請同學(xué)們課后對問題進(jìn)行延伸思考： 通過以上兩個例題，我們發(fā)現(xiàn)這樣一個結(jié)論： 如果 f （ x ）具備奇偶性，同時 f （ x ）的圖象還關(guān)于某條直線對稱，則 f （ x ）是周期函數(shù)，你認(rèn)為這個結(jié)論成立嗎？請證明。
課堂總結(jié)：（師生共同完成） 要求對函數(shù)性質(zhì)有深刻的理解及三種數(shù)學(xué)語言的理解轉(zhuǎn)化 掌握代表變換的方法，體會數(shù)形結(jié)合、化歸思想在解題過程中的應(yīng)用 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力 課堂檢測： 已知定義在 R 上的周期函數(shù) y=f （ x ），周期 T=4 ，若 y=f （ x ）的圖象關(guān)于直線 x=2 成軸對稱圖形 求證： y=f （ x ）是偶函數(shù)
五、課后反思
這節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)，設(shè)計比較合理。特別是課前的復(fù)習(xí)導(dǎo)入，加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的文字語言、符號語言、圖形語言三種語言理解和相互轉(zhuǎn)換，為突破本節(jié)課的難點做了有益的鋪墊。 例 1 的三種解法和四種變化，從不同的角度和方面加深了學(xué)生對函數(shù)有關(guān)概念性質(zhì)的理解，對數(shù)學(xué)語言閱讀能力的培養(yǎng)，同時對提高他們的抽象思維能力是極有好處的 學(xué)生課堂上的反映熱烈，積極參與，回答問題踴躍。特別是一些平時成績偏下的學(xué)生也積極發(fā)言，很想表現(xiàn)自己，渴望得到來勢和同學(xué)的認(rèn)可�？磥�，如果平時也經(jīng)常關(guān)注這部分學(xué)生，多給他們成功的機(jī)會，調(diào)動他們參與課堂的積極性，那么他們一定回愿意學(xué)，樂于學(xué)，學(xué)好的 從課堂小測反饋的情況看，有少數(shù)學(xué)生對這部分內(nèi)容的掌握還有困難，不會閱讀，理解數(shù)學(xué)符號，因此運用起來感到比較困難，無從下手解題，因此對這部分學(xué)生還得加強(qiáng)課后的輔導(dǎo)督促其落實 課堂上程序基本上是老師設(shè)計安排好的，沒有讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，從而解決問題，這對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和能力是有礙的，這也是本人感到困惑的地方，在高三的復(fù)習(xí)時間緊迫的情況下，在課堂上，如何既讓學(xué)生有一定的時間體會探索，發(fā)散思維，甚至充分暴露思維的錯誤，又能按時完成課時進(jìn)度，落實各個知識點，不影響應(yīng)試考試的成績。這實在是太難了�。�
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